Записки репетитора

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.

Вот еще одно интересное неравенство, пугает своей громоздкостью.

$$
\log_2((6^{-x^2}-3)(6^{-x^2+16}-1))+\log_2\frac{6^{-x^2-3}}{6^{-x^2+16}-1}>\log_2(6^{7-x^2}-2)^2
$$

**Решение:**

Сделаем замену переменной. Пусть $t=6^{-x^2}$, при этом $0 \lt t\leq 1$. Значит выражение $(t-3)$ будет отрицательным для любых $x$.


$$
\log_2((t-3)(6^{16}t-1))+\log_2\frac{t-3}{6^{16}t-1}>\log_2(6^7t-2)^2
$$





Так как под знаком логарифма должно стоять положительное число, второй множитель $(6^{16}t-1)$ тоже должен быть меньше нуля.


$$
6^{16}t-1<0
$$

Получим, что $0 \lt t \lt \frac{1}{6^{16}}$
Из второго выражения получим, что 
$$
6^7t-2 \lt 0
$$

Разворачиваем логарифм произведения и логарифм частного по соответствующим формулам и получаем:



$$
\left\{
\begin{aligned} 
\log_2(t-3)^2 > \log_2(6^7t-2)^2 \\ 
0<t<\frac{1}{6^{16}}
\end{aligned} 
\right. 
$$ 

$$
\left\{
\begin{aligned}
|t-3|>|6^7t-2|\\
0\lt t \lt \frac{1}{6^{16}}
\end{aligned}
\right.
$$

Поскольку t < $6^{-16}$, то обе части неравенства будут отрицательны и раскрывать модуль будем со знаком (-)


$$
\left\{
\begin{aligned}
3-t>2-6^7t\\
0\lt t \lt \frac{1}{6^{16}}
\end{aligned}
\right.
$$

$$
\left\{
\begin{aligned}
t \gt -\frac{1}{6^7-1}\\
0\lt t \lt \frac{1}{6^{16}}
\end{aligned}
\right.
$$

В итоге получаем, что $0 \lt t \lt 6^{-16}$.

Возвращаем замену и получаем:

$$
6^{-x^2}\lt 6^{-16}
$$

$$
x^2 \gt 16
$$

$$
|x| \gt 4
$$

$$
x<-4 \cup x>4
$$

Ответ: $x \in (-\infty;-4)\cup(4; \infty) $

Записки репетитора

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Инструменты страницы