Записки репетитора

Вот еще одно интересное неравенство, пугает своей громоздкостью.

$$ \log_2((6^{-x^2}-3)(6^{-x^2+16}-1))+\log_2\frac{6^{-x^2-3}}{6^{-x^2+16}-1}>\log_2(6^{7-x^2}-2)^2 $$

Решение:

Сделаем замену переменной. Пусть $t=6^{-x^2}$, при этом $0 \lt t\leq 1$. Значит выражение $(t-3)$ будет отрицательным для любых $x$.

$$ \log_2((t-3)(6^{16}t-1))+\log_2\frac{t-3}{6^{16}t-1}>\log_2(6^7t-2)^2 $$

Так как под знаком логарифма должно стоять положительное число, второй множитель $(6^{16}t-1)$ тоже должен быть меньше нуля.

$$ 6^{16}t-1<0 $$

Получим, что $0 \lt t \lt \frac{1}{6^{16}}$ Из второго выражения получим, что $$ 6^7t-2 \lt 0 $$

Разворачиваем логарифм произведения и логарифм частного по соответствующим формулам и получаем:

$$ \left\{ \begin{aligned} \log_2(t-3)^2 > \log_2(6^7t-2)^2 \\ 0<t<\frac{1}{6^{16}} \end{aligned} \right. $$

$$ \left\{ \begin{aligned} |t-3|>|6^7t-2|\\ 0\lt t \lt \frac{1}{6^{16}} \end{aligned} \right. $$

Поскольку t < $6^{-16}$, то обе части неравенства будут отрицательны и раскрывать модуль будем со знаком (-)

$$ \left\{ \begin{aligned} 3-t>2-6^7t\\ 0\lt t \lt \frac{1}{6^{16}} \end{aligned} \right. $$

$$ \left\{ \begin{aligned} t \gt -\frac{1}{6^7-1}\\ 0\lt t \lt \frac{1}{6^{16}} \end{aligned} \right. $$

В итоге получаем, что $0 \lt t \lt 6^{-16}$.

Возвращаем замену и получаем:

$$ 6^{-x^2}\lt 6^{-16} $$

$$ x^2 \gt 16 $$

$$ |x| \gt 4 $$

$$ x<-4 \cup x>4 $$

Ответ: $x \in (-\infty;-4)\cup(4; \infty) $