Записки репетитора

Еще одно неравенство, отягощенное модулем:

$$ \frac{0.2^{|x^2-4x+2|}-0.04}{3-x}\leq 0 $$

Решение:

Здесь также воспользуемся методом интервалов

1. ОДЗ

$$ 3-x \neq 0 $$

$$ x\neq 3 $$

2. Найдем нули уравнения

$$0.2^{|x^2-4x+2|}-0.04 = 0$$ $$0.2^{|x^2-4x+2|}=0.04$$ $$0.2^{|x^2-4x+2|}=0.2^2$$ $$|x^2-4x+2| = 2 $$

3. Раскрываем модуль с (+) $$x^2-4x+2 = 2 $$ $$x^2-4x = 0 $$ $$x(x-4)=0$$ $$x_1 = 0$$ $$x_2 = 4$$

4. Раскрываем модуль с (-) $$x^2-4x+2 = -2 $$ $$x^2-4x+4 = 0 $$ $$(x-2)^2=0$$ $$x_3 = 2$$ $$x_4 = 2$$

5. Отметим полученные нули и одз на координатной прямой и исследуем полученные интервалы: $$(-\inf;0] - неравенство < 0 $$

$$[0;2) - неравенство > 0 $$

$$\{2\} неравенство < 0 $$

$$(2;3) - Неравенство >0 $$

$$(3;4] - Неравенство <0 $$

$$[4; +\inf) - Неравенство > 0 $$

Итого: Неравенство справедливо для x $\in (-\inf; 0] \cup \{2\} \cup (3;4]$